【向量积公式怎么算】向量积（也称为叉积）是向量运算中的一种重要形式，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。向量积的结果是一个与原两个向量都垂直的向量，其方向由右手定则决定，大小则由两向量夹角的正弦值决定。
为了更清晰地理解向量积的计算方法，下面将从定义、公式、计算步骤以及示例等方面进行总结，并通过表格形式直观展示关键内容。
一、向量积的基本概念
| 项目 | 内容 | ||||||
| 定义 | 向量积是两个向量之间的乘法运算，结果为一个向量 | ||||||
| 记号 | $ \vec{a} \times \vec{b} $ | ||||||
| 结果性质 | 与原向量垂直，方向由右手定则确定 | ||||||
| 大小 | $ | \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta $，其中 $ \theta $ 是两向量夹角 |
二、向量积的公式
在三维空间中，若两个向量分别为：
$$
\vec{a} = (a_1, a_2, a_3), \quad \vec{b} = (b_1, b_2, b_3)
$$
则它们的向量积为：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
也可以写成：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
$$
三、向量积的计算步骤
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 确定两个向量的坐标表示：$ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) $，$ \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) $ |
| 2 | 使用行列式或直接公式计算各分量 |
| 3 | 将计算结果组合成新的向量 |
| 4 | 检查方向是否符合右手定则（可选） |
四、向量积的示例
假设：
$$
\vec{a} = (1, 2, 3), \quad \vec{b} = (4, 5, 6)
$$
计算：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
(2 \cdot 6 - 3 \cdot 5, 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6, 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4)
= (12 - 15, 12 - 6, 5 - 8)
= (-3, 6, -3)
$$
五、总结对比表
| 项目 | 公式/方法 | 说明 | ||||||
| 向量积定义 | $ \vec{a} \times \vec{b} $ | 两个向量的叉积 | ||||||
| 向量积结果 | $ (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1) $ | 三维空间中的向量积计算公式 | ||||||
| 向量积大小 | $ | \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta $ | 与夹角有关 | |
| 方向判断 | 右手定则 | 大拇指指向第一个向量，食指指向第二个向量，中指方向即为结果方向 |
通过以上内容，我们可以系统地掌握向量积的计算方式及其应用背景。在实际问题中，合理运用向量积可以帮助我们分析空间中的力、旋转、运动等复杂现象。
